Regra de Três Composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

        Exemplos:

        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

        Identificação dos tipos de relação:        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

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        2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

        Solução: montando a tabela:

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

        Observe que:
        Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional(não precisamos inverter a razão).

        Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

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        3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

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    Exercícios complementares

    Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

    1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?  Resposta: 6 horas.

    2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   Resposta: 35 dias.

    3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?  Resposta: 15 dias.

    4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?  Resposta: 10 horas por dia.

    5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?  Resposta: 2025 metros.

Polinômios - 9º Ano

ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLO
Vamos calcular:

(3x²- 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)=
=3x²-6x+4+2x²+4x-7=
=3x²+2x²-6x+4x+4-7=
=5x²-2x-3
EXERCÍCIOS 
1) Efetue as seguintes adições de polinômios:

a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)

SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

EXEMPLOS

Vamos calcular:

(5x²-4x+9)-(8x²-6x+3)=
=5x²-4x+9-8x²+6x-3=
=5x²-8x²-4x+6x+9-3=
=-3x²+2x+6

EXERCÍCIOS

1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: -2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)


MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


EXEMPLOS

1) 4x(2x-3y ) =
=4x. 2x – 4x.3y
=8x² - 12xy

2) (3x + 5) . (x + 2)
= 3x(x+2) + 5(x + 2)=
=3x²+6x+5x+10
= 3x² + 11x + 10


EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos

a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:



DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Vamos efetuar as divisões:

a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5


Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

EXERCÍCIOS

1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)

2) Efetue as Divisões:

a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.

Vamos efetuar a divisão:

(2x² - 5x - 12) : ( x -4)

Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.

a)Coloque o polinômio assim:

















b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quociente (2x)
















c) Multiplique o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza só termos semelhantes:












Exemplo 2

Vamos calcular a divisão









Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)

logo:quociente: 3x² - x - 6
resto: x -1


EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)

7º e 9º Ano - exercícios

Exercícios de Regra de Três Simples
1-Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quanto segundos atrasará em 8 dias?

2– Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

3 – Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m² de parede. Quantos metros quadrados podem ser pintados com 11 latas dessa tinta?

4 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos metros de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

5 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

6 – Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

7 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – O trabalhador A pode realizar uma certa tarefa em 12h. O trabalhador B é 50% mais eficiente. Nessas condições, qual o número de horas necessárias para que o trabalhador B realize esta mesma tarefa?

10 – Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para encher um reservatório de volume de 1m³, quanto tempo esta torneira levará?

9º Ano - Regra de Três

Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.         Passos utilizados numa regra de três simples:         1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.         2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.         3º) Montar a proporção e resolver a equação.         Exemplos:         1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?         Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x         Identificação do tipo de relação:         Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).         Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.         Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.         2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?         Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x         Identificação do tipo de relação:         Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).         Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.         Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.         3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?         Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x         Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.         Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.         4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?         Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x         Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.         Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

9º Ano - Teoria de produtos notáveis

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

A. Quadrado da Soma de Dois Termos

B. Quadrado da Diferença de Dois Termos

C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

D. Cubo da Soma de Dois Termos

E. Cubo da Diferença de Dois Termos

9º Ano - Perímetro e Área

     Sabendo-se que o comprimento de um retângulo é 25,20 m e a largura a terça parte dessa medida. Qual o perímetro? Resp: 67,20 m.
    Quero fechar com cerca de arame, o terreno retangular de um colégio de 150 m de comprimento por 120 m de largura. Coloco estacas de 1,5 m em 1,5 m, pagando-as R$ 20,00 cada uma. Gasto de arame e grampos R$ 500,00. Qual a despesa total? Resp: R$ 7700,00.
     Num compartimento de 4 m por 7,20 m vão ser colocadas no rodapé, placas de cerâmicas de 0,20 m de comprimento. Quantas placas serão usadas, se nesse comprimento há uma porta de 1,80 m de largura? Resp: 103.
     Um homem tem um terreno com a forma de um triangulo eqüilátero de 15 m de lado, Fechou-o com uma cerca que lhe custou R$ 80,00 o metro. Quanto gastou? Resp: R$ 3600,00.
     Mandei pintar o rodapé de uma sala quadrada de 3,50 m de lado, descontando a décima parte do perímetro para uma porta. Quantos metros de rodapé foram pintados? Resp: 12,60 m.
     Quero plantar árvores distantes um metro e meio uma de outra, em volta de um pátio de 96 m de comprimento por 75 m de largura. Quanto gastarei, se pagar R$ 30,00 por árvore e R$ 500,00 pelo trabalho de plantar? Resp: R$ 7340,00.
     Quantas estacas usaram pra estacar um cercado quadrado de 3,5 m de lado, se em cada metro de cerca colocaram uma dúzia de estacas? Resp: 168.
     Vou murar um quintal retangular de 12,50 m por 6,70 m. Quanto gastarei se o metro de muro ficará em R$ 125,00? Resp : R$ 4800,00.
     Uma bordadeira fez crochê em volta de uma toalha retangular de 2,10 m por 1,50, cobrando R$ 9,50 pelo metro. Quanto cobrou ao todo? Resp: R$ 68,40.
     Um terreno quadrado custou R$ 153000,00 à razão de R$ 900,00 O m. Qual a área do terreno? Resp : 170 m
      Um terreno quadrado tem 40 m de lado. Calcular o valor de desse terreno, à razão de R$ 600,00 o m. Resp: R$ 120000,00
     Quantos ladrilhos de 0,04 mde área serão colocados numa cozinha de 24 mde área? Resp: 600.
     Em uma copa cuja superfície é de 18 m, quantos ladrilhos quadrados de 0,20 m de lado serão usados para seu piso? Resp: 450.
     Em uma sala medindo 4,8 m de comprimento por 3,6 m de largura, quantos tacos de 0,024 mserão colocados em seu piso? Resp: 720.
     Meu padrinho mandou ladrilhar sua garagem quadrada de 6 m de lado. Quantos ladrilhos foram colocados se cadê um ocupa uma área de 0,40 m? Resp: 90.
     Uma sala mede 6 m de comprimento por 7,60 m de largura. Os tacos dessa sala são retangulares de 0,12 m de comprimento por 0,05 m de largura. Quantos tacos há na sala? Resp: 7600.
     Um salão de 8,40 m por 6,30 m foi pavimentado com lajes de 30 cm de base por 12 cm de altura. Quantas lajes foram colocadas? Resp: 1470.
     A tampa de sua carteira tem forma retangular. Medindo 70 cm de comprimento por 40 cm de largura. Você foi encarregado de cobrir esta tampa com cartolina e fixá-la com fita durex acompanhando todo o contorno da tampa. Quer saber: 

a) Quantos centímetros quadrados de cartolina serão usados para cobrir toda a tampa? Resp: 220 c m

b) Quantos centímetros de durex serão empregados para fixar a cartolina na tampa?
     Um pintor pintou um quadro de 60 cm de comprimento, por 40 cm de largura e colocou à sua volta uma moldura dourada. Pergunta-se:
a) Quanto centímetro quadrado de pintura tinha no quadro?
b) Quantos centímetros de moldura foram empregados? Resp: 200 cm.
    

     Quero forrar a minha mesa com um oleado e fixá-lo com uma fita plástica. Se a mesa mede 80 cm de comprimento, por 40 cm de largura, quantos cmde oleado usarei? Quanto cm de fita plástica precisará? 240 cm.
   

  Se o perímetro do quadrado é 20 cm. Qual a área? Resp: 25cm.
   

   Usei 120 m de fita durex para fixar a cartolina que coloquei sobre a mesa quadrada. Qual a área da cartolina? Resp: 900 cm
   

   O perímetro de um quadrado é 30 m. Quantos m de área ocupa? Resp: 56,25 m
   

   Para cercar um terreno quadrado, gastarei 80 m de muro, Qual a área do terreno? Resp: 400 m

    Sendo de 200 m o perímetro de um retângulo e o comprimento 80 m, quantos m tem? Resp: 1600 m.

9º Ano - MDC E MMC