Regra de Três Composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

        Exemplos:

        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

        Identificação dos tipos de relação:        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

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        2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

        Solução: montando a tabela:

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

        Observe que:
        Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional(não precisamos inverter a razão).

        Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

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        3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

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    Exercícios complementares

    Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

    1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?  Resposta: 6 horas.

    2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   Resposta: 35 dias.

    3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?  Resposta: 15 dias.

    4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?  Resposta: 10 horas por dia.

    5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?  Resposta: 2025 metros.

Polinômios - 9º Ano

ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLO
Vamos calcular:

(3x²- 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)=
=3x²-6x+4+2x²+4x-7=
=3x²+2x²-6x+4x+4-7=
=5x²-2x-3
EXERCÍCIOS 
1) Efetue as seguintes adições de polinômios:

a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)

SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

EXEMPLOS

Vamos calcular:

(5x²-4x+9)-(8x²-6x+3)=
=5x²-4x+9-8x²+6x-3=
=5x²-8x²-4x+6x+9-3=
=-3x²+2x+6

EXERCÍCIOS

1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: -2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)


MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


EXEMPLOS

1) 4x(2x-3y ) =
=4x. 2x – 4x.3y
=8x² - 12xy

2) (3x + 5) . (x + 2)
= 3x(x+2) + 5(x + 2)=
=3x²+6x+5x+10
= 3x² + 11x + 10


EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos

a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:



DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Vamos efetuar as divisões:

a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5


Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

EXERCÍCIOS

1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)

2) Efetue as Divisões:

a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.

Vamos efetuar a divisão:

(2x² - 5x - 12) : ( x -4)

Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.

a)Coloque o polinômio assim:

















b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quociente (2x)
















c) Multiplique o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza só termos semelhantes:












Exemplo 2

Vamos calcular a divisão









Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)

logo:quociente: 3x² - x - 6
resto: x -1


EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)

7º e 9º Ano - exercícios

Exercícios de Regra de Três Simples
1-Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quanto segundos atrasará em 8 dias?

2– Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

3 – Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m² de parede. Quantos metros quadrados podem ser pintados com 11 latas dessa tinta?

4 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos metros de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

5 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

6 – Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

7 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – O trabalhador A pode realizar uma certa tarefa em 12h. O trabalhador B é 50% mais eficiente. Nessas condições, qual o número de horas necessárias para que o trabalhador B realize esta mesma tarefa?

10 – Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para encher um reservatório de volume de 1m³, quanto tempo esta torneira levará?

9º Ano - Regra de Três

Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.         Passos utilizados numa regra de três simples:         1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.         2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.         3º) Montar a proporção e resolver a equação.         Exemplos:         1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?         Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x         Identificação do tipo de relação:         Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).         Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.         Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.         2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?         Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x         Identificação do tipo de relação:         Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).         Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.         Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.         3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?         Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x         Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.         Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.         4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?         Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x         Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.         Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

9º Ano - Teoria de produtos notáveis

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

A. Quadrado da Soma de Dois Termos

B. Quadrado da Diferença de Dois Termos

C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

D. Cubo da Soma de Dois Termos

E. Cubo da Diferença de Dois Termos

9º Ano - Perímetro e Área

     Sabendo-se que o comprimento de um retângulo é 25,20 m e a largura a terça parte dessa medida. Qual o perímetro? Resp: 67,20 m.
    Quero fechar com cerca de arame, o terreno retangular de um colégio de 150 m de comprimento por 120 m de largura. Coloco estacas de 1,5 m em 1,5 m, pagando-as R$ 20,00 cada uma. Gasto de arame e grampos R$ 500,00. Qual a despesa total? Resp: R$ 7700,00.
     Num compartimento de 4 m por 7,20 m vão ser colocadas no rodapé, placas de cerâmicas de 0,20 m de comprimento. Quantas placas serão usadas, se nesse comprimento há uma porta de 1,80 m de largura? Resp: 103.
     Um homem tem um terreno com a forma de um triangulo eqüilátero de 15 m de lado, Fechou-o com uma cerca que lhe custou R$ 80,00 o metro. Quanto gastou? Resp: R$ 3600,00.
     Mandei pintar o rodapé de uma sala quadrada de 3,50 m de lado, descontando a décima parte do perímetro para uma porta. Quantos metros de rodapé foram pintados? Resp: 12,60 m.
     Quero plantar árvores distantes um metro e meio uma de outra, em volta de um pátio de 96 m de comprimento por 75 m de largura. Quanto gastarei, se pagar R$ 30,00 por árvore e R$ 500,00 pelo trabalho de plantar? Resp: R$ 7340,00.
     Quantas estacas usaram pra estacar um cercado quadrado de 3,5 m de lado, se em cada metro de cerca colocaram uma dúzia de estacas? Resp: 168.
     Vou murar um quintal retangular de 12,50 m por 6,70 m. Quanto gastarei se o metro de muro ficará em R$ 125,00? Resp : R$ 4800,00.
     Uma bordadeira fez crochê em volta de uma toalha retangular de 2,10 m por 1,50, cobrando R$ 9,50 pelo metro. Quanto cobrou ao todo? Resp: R$ 68,40.
     Um terreno quadrado custou R$ 153000,00 à razão de R$ 900,00 O m. Qual a área do terreno? Resp : 170 m
      Um terreno quadrado tem 40 m de lado. Calcular o valor de desse terreno, à razão de R$ 600,00 o m. Resp: R$ 120000,00
     Quantos ladrilhos de 0,04 mde área serão colocados numa cozinha de 24 mde área? Resp: 600.
     Em uma copa cuja superfície é de 18 m, quantos ladrilhos quadrados de 0,20 m de lado serão usados para seu piso? Resp: 450.
     Em uma sala medindo 4,8 m de comprimento por 3,6 m de largura, quantos tacos de 0,024 mserão colocados em seu piso? Resp: 720.
     Meu padrinho mandou ladrilhar sua garagem quadrada de 6 m de lado. Quantos ladrilhos foram colocados se cadê um ocupa uma área de 0,40 m? Resp: 90.
     Uma sala mede 6 m de comprimento por 7,60 m de largura. Os tacos dessa sala são retangulares de 0,12 m de comprimento por 0,05 m de largura. Quantos tacos há na sala? Resp: 7600.
     Um salão de 8,40 m por 6,30 m foi pavimentado com lajes de 30 cm de base por 12 cm de altura. Quantas lajes foram colocadas? Resp: 1470.
     A tampa de sua carteira tem forma retangular. Medindo 70 cm de comprimento por 40 cm de largura. Você foi encarregado de cobrir esta tampa com cartolina e fixá-la com fita durex acompanhando todo o contorno da tampa. Quer saber: 

a) Quantos centímetros quadrados de cartolina serão usados para cobrir toda a tampa? Resp: 220 c m

b) Quantos centímetros de durex serão empregados para fixar a cartolina na tampa?
     Um pintor pintou um quadro de 60 cm de comprimento, por 40 cm de largura e colocou à sua volta uma moldura dourada. Pergunta-se:
a) Quanto centímetro quadrado de pintura tinha no quadro?
b) Quantos centímetros de moldura foram empregados? Resp: 200 cm.
    

     Quero forrar a minha mesa com um oleado e fixá-lo com uma fita plástica. Se a mesa mede 80 cm de comprimento, por 40 cm de largura, quantos cmde oleado usarei? Quanto cm de fita plástica precisará? 240 cm.
   

  Se o perímetro do quadrado é 20 cm. Qual a área? Resp: 25cm.
   

   Usei 120 m de fita durex para fixar a cartolina que coloquei sobre a mesa quadrada. Qual a área da cartolina? Resp: 900 cm
   

   O perímetro de um quadrado é 30 m. Quantos m de área ocupa? Resp: 56,25 m
   

   Para cercar um terreno quadrado, gastarei 80 m de muro, Qual a área do terreno? Resp: 400 m

    Sendo de 200 m o perímetro de um retângulo e o comprimento 80 m, quantos m tem? Resp: 1600 m.

9º Ano - MDC E MMC

Conjuntos Numéricos - 9º Ano

TEORIA DOS CONJUNTOS

Conceitos de conjuntos
   

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

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Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:

• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
• O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 

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   União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 



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Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 



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Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 



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Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja 
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2ⁿ subconjuntos de A.

 1.1      Exercícios

1.   Se A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:

a)   { b } Î A

b)  Æ Î A

c)   { a } Ì A

d)   a Ì  A

2.   Diga quais das seguintes proposições são verdadeiras:

a)   { {1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}

b)  {1,2} Ì {{1,2}}

c)   {1,2} Î {{1,2}}

d)  {a} Î {b,{a}}

e)   {a} Ì {b,{a}}

f)   Æ = {Æ}

g)  Æ Ì {Æ}

h)  Æ Î {Æ}

i)    {1,2,2,3,3} = {1,2,3}

j)    {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}

k)  Æ Ì Æ

l)    Æ Î Æ

3.   - Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.

a)   U Î G? Justifique.

b)  U Ì  G? Justifique.

4.   Estabeleça entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4},  V = {1,4,5}, W = 2,  X = {3, Æ},  Y = Æ,  Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “ e/ou “Ì “, sempre que possível. Justifique.

5.   Considere os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o número total de turmas, seja I={i Î IN: i £ n }. Designamos cada turma por P,  iÎI. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:

a)   PÎ T

b)  PÍ T

c)   PÎ A

d)  PÍ A

e)   PÎ A È T

f)   PÍ A È T

6.   Defina o conjunto IR -A, onde A é definido do seguinte modo:

a)   A = { x Î IR : | x + 5 | ³ 4  Ù x £ 0 }

b)  A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú  2x ³ 4 }

c)   A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 } È { x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }

d)  A = { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç { x Î IR : 7x - 5 ³ 4 }

7.   Dado o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.

8.   Qual é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?

9.   Dado o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

a)   o subconjunto A dos números menores que 5.

b)  o subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.

c)   o subconjunto C dos números pares maiores que 6.

d)  o subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.

10. Dê um exemplo para ilustrar  A È B  = A È C  com B ¹ C.

Os Símbolos da Linguagem dos Conjuntos - Resumo

Nos itens anteriores, à medida que falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais símbolos:

          a Î A                lê-se:              a pertence a  A

          a Ï A                lê-se:              a não pertence a  A

A = {x | x goza a propriedade P}     lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a propriedade P

A = B                lê-se:              A é igual a B

A ¹ B                lê-se:              A é diferente de B

A Ì B                lê-se:              A está contido em B

A Ë B                lê-se:              A não está contido em B

A É B                lê-se:              A contém B

A É B                lê-se:              A não contém B

   Æ                    lê-se:              conjunto vazio

A - B                lê-se:              A menos B

A Ç B               lê-se:              A inter B

A È B               lê-se:              A união B

  "x                   lê-se:              qualquer que seja x  ou  para todo x

  $ x                   lê-se:              existe ao menos um x  ou  pelo menos um  x

  $ x                   lê-se:              não existe x algum

p Þ q                lê-se:              se p então q  ou  p implica q

p Û q               lê-se:              p é equivalente a q

1.1      Números Reais

Os números racionais e irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Figura 5 -

Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

1.1.1     Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.

1.1.2     Tipos de Intervalos:

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}  ou  [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥ a} 

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

1.1.3     União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Figura 7 – Intersecção de intervalos.

1.2      Exercícios

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a) 35,5	Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL
b) +45	Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
c) raiz quadrada de dois	Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL
d) raiz quadrada de 144	Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
e) raiz quadrada de -81	Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.