TEORIA DOS CONJUNTOS
Conceitos de conjuntos
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .
- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:
- União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.
1.1 Exercícios
1. Se
A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:
a) { b
} Î A
b) Æ Î A
c) { a
} Ì A
d) a Ì A
2. Diga
quais das seguintes proposições são verdadeiras:
a) {
{1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}
b) {1,2}
Ì
{{1,2}}
c) {1,2}
Î
{{1,2}}
d) {a}
Î
{b,{a}}
e) {a} Ì
{b,{a}}
f) Æ = {Æ}
g) Æ Ì {Æ}
h) Æ Î {Æ}
i) {1,2,2,3,3}
= {1,2,3}
j) {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}
k) Æ Ì Æ
l) Æ Î Æ
3. -
Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.
a) U Î G?
Justifique.
b) U
Ì G? Justifique.
4. Estabeleça
entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4}, V = {1,4,5}, W = 2, X = {3, Æ}, Y = Æ, Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “
e/ou “Ì “,
sempre que possível. Justifique.
5. Considere
os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o
número total de turmas, seja I={i Î
IN: i £ n }.
Designamos cada turma por P, iÎI.
Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:
a) PÎ T
b) PÍ T
c) PÎ A
d) PÍ A
e) PÎ A È
T
f) PÍ A È
T
6. Defina
o conjunto IR -A,
onde A é definido do seguinte modo:
a) A =
{ x Î IR : | x + 5 | ³ 4 Ù
x £ 0 }
b) A
= { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú 2x ³ 4 }
c) A =
{ x Î IR : 6x + 9 < 0 } È
{ x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }
d) A
= { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç
{ x Î IR : 7x - 5 ³
4 }
7. Dado
o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva
o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.
8. Qual
é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do
conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?
9. Dado
o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
a) o
subconjunto A dos números menores que 5.
b) o
subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.
c) o
subconjunto C dos números pares maiores que 6.
d) o
subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.
10. Dê
um exemplo para ilustrar A È B = A È C com B ¹ C.
Os Símbolos da
Linguagem dos Conjuntos - Resumo
Nos itens anteriores, à medida que
falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e
estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais
símbolos:
a Î A lê-se: a
pertence a A
a Ï A lê-se: a
não pertence a A
A = {x
| x goza a propriedade P}
lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a
propriedade P
A = B lê-se: A é igual a B
A ¹ B lê-se: A
é diferente de B
A Ì B lê-se: A
está contido em B
A Ë B lê-se: A
não está contido em B
A É B lê-se: A
contém B
A É B lê-se: A
não contém B
Æ lê-se: conjunto vazio
A - B lê-se: A
menos B
A Ç B lê-se: A
inter B
A È B lê-se: A
união B
"x lê-se: qualquer que seja x ou
para todo x
$ x lê-se: existe ao menos um x ou
pelo menos um x
$ x lê-se: não existe x algum
p Þ q lê-se: se p então q ou p implica
q
p Û q lê-se: p é equivalente a q
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
1.1 Números Reais
Os números racionais e
irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais
importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por
todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS
REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos
racionais.
Figura 5 -
Se um número é Real, ou ele será
Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto.
Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.
1.1.1 Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real
utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos
extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o
ponto extremo pertence.
Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.
1.1.2 Tipos de Intervalos:
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito
c = b - a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x <
b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito
c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤
b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x
< b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤
x} ou
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥
a}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,
então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um
ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com a
seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?
1.1.3 União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U
B = {x ε R | -1 ≤ x}
Figura 7 – Intersecção de intervalos.
1.2 Exercícios
1. Diga a qual conjunto pertence os números:
a) 35,5
|
Este número pode ser representado por 355/10 então é
RACIONAL e consequentemente REAL
|
b) +45
|
Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e
consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
|
c) raiz quadrada de dois
|
Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e
consequentemente REAL
|
d) raiz quadrada de 144
|
Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e
consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
|
e) raiz quadrada de -81
|
Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então,
IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.
|
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