Conjuntos Numéricos - 9º Ano

1.1      Exercícios

1.   Se A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:

a)   { b } Î A

b)  Æ Î A

c)   { a } Ì A

d)   a Ì  A

2.   Diga quais das seguintes proposições são verdadeiras:

a)   { {1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}

b)  {1,2} Ì {{1,2}}

c)   {1,2} Î {{1,2}}

d)  {a} Î {b,{a}}

e)   {a} Ì {b,{a}}

f)   Æ = {Æ}

g)  Æ Ì {Æ}

h)  Æ Î {Æ}

i)    {1,2,2,3,3} = {1,2,3}

j)    {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}

k)  Æ Ì Æ

l)    Æ Î Æ

3.   - Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.

a)   U Î G? Justifique.

b)  U Ì  G? Justifique.

4.   Estabeleça entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4},  V = {1,4,5}, W = 2,  X = {3, Æ},  Y = Æ,  Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “ e/ou “Ì “, sempre que possível. Justifique.

5.   Considere os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o número total de turmas, seja I={i Î IN: i £ n }. Designamos cada turma por P,  iÎI. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:

a)   PÎ T

b)  PÍ T

c)   PÎ A

d)  PÍ A

e)   PÎ A È T

f)   PÍ A È T

6.   Defina o conjunto IR -A, onde A é definido do seguinte modo:

a)   A = { x Î IR : | x + 5 | ³ 4  Ù x £ 0 }

b)  A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú  2x ³ 4 }

c)   A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 } È { x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }

d)  A = { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç { x Î IR : 7x - 5 ³ 4 }

7.   Dado o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.

8.   Qual é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?

9.   Dado o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

a)   o subconjunto A dos números menores que 5.

b)  o subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.

c)   o subconjunto C dos números pares maiores que 6.

d)  o subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.

10. Dê um exemplo para ilustrar  A È B  = A È C  com B ¹ C.

Os Símbolos da Linguagem dos Conjuntos - Resumo

Nos itens anteriores, à medida que falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais símbolos:

          a Î A                lê-se:              a pertence a  A

          a Ï A                lê-se:              a não pertence a  A

A = {x | x goza a propriedade P}     lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a propriedade P

A = B                lê-se:              A é igual a B

A ¹ B                lê-se:              A é diferente de B

A Ì B                lê-se:              A está contido em B

A Ë B                lê-se:              A não está contido em B

A É B                lê-se:              A contém B

A É B                lê-se:              A não contém B

   Æ                    lê-se:              conjunto vazio

A - B                lê-se:              A menos B

A Ç B               lê-se:              A inter B

A È B               lê-se:              A união B

  "x                   lê-se:              qualquer que seja x  ou  para todo x

  $ x                   lê-se:              existe ao menos um x  ou  pelo menos um  x

  $ x                   lê-se:              não existe x algum

p Þ q                lê-se:              se p então q  ou  p implica q

p Û q               lê-se:              p é equivalente a q

1.1      Números Reais

Os números racionais e irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Figura 5 -

Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

1.1.1     Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.

1.1.2     Tipos de Intervalos:

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}  ou  [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥ a} 

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

1.1.3     União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Figura 7 – Intersecção de intervalos.

1.2      Exercícios

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a) 35,5	Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL
b) +45	Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
c) raiz quadrada de dois	Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL
d) raiz quadrada de 144	Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
e) raiz quadrada de -81	Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.