9º Ano - Perímetro e Área

     Sabendo-se que o comprimento de um retângulo é 25,20 m e a largura a terça parte dessa medida. Qual o perímetro? Resp: 67,20 m.
    Quero fechar com cerca de arame, o terreno retangular de um colégio de 150 m de comprimento por 120 m de largura. Coloco estacas de 1,5 m em 1,5 m, pagando-as R$ 20,00 cada uma. Gasto de arame e grampos R$ 500,00. Qual a despesa total? Resp: R$ 7700,00.
     Num compartimento de 4 m por 7,20 m vão ser colocadas no rodapé, placas de cerâmicas de 0,20 m de comprimento. Quantas placas serão usadas, se nesse comprimento há uma porta de 1,80 m de largura? Resp: 103.
     Um homem tem um terreno com a forma de um triangulo eqüilátero de 15 m de lado, Fechou-o com uma cerca que lhe custou R$ 80,00 o metro. Quanto gastou? Resp: R$ 3600,00.
     Mandei pintar o rodapé de uma sala quadrada de 3,50 m de lado, descontando a décima parte do perímetro para uma porta. Quantos metros de rodapé foram pintados? Resp: 12,60 m.
     Quero plantar árvores distantes um metro e meio uma de outra, em volta de um pátio de 96 m de comprimento por 75 m de largura. Quanto gastarei, se pagar R$ 30,00 por árvore e R$ 500,00 pelo trabalho de plantar? Resp: R$ 7340,00.
     Quantas estacas usaram pra estacar um cercado quadrado de 3,5 m de lado, se em cada metro de cerca colocaram uma dúzia de estacas? Resp: 168.
     Vou murar um quintal retangular de 12,50 m por 6,70 m. Quanto gastarei se o metro de muro ficará em R$ 125,00? Resp : R$ 4800,00.
     Uma bordadeira fez crochê em volta de uma toalha retangular de 2,10 m por 1,50, cobrando R$ 9,50 pelo metro. Quanto cobrou ao todo? Resp: R$ 68,40.
     Um terreno quadrado custou R$ 153000,00 à razão de R$ 900,00 O m. Qual a área do terreno? Resp : 170 m
      Um terreno quadrado tem 40 m de lado. Calcular o valor de desse terreno, à razão de R$ 600,00 o m. Resp: R$ 120000,00
     Quantos ladrilhos de 0,04 mde área serão colocados numa cozinha de 24 mde área? Resp: 600.
     Em uma copa cuja superfície é de 18 m, quantos ladrilhos quadrados de 0,20 m de lado serão usados para seu piso? Resp: 450.
     Em uma sala medindo 4,8 m de comprimento por 3,6 m de largura, quantos tacos de 0,024 mserão colocados em seu piso? Resp: 720.
     Meu padrinho mandou ladrilhar sua garagem quadrada de 6 m de lado. Quantos ladrilhos foram colocados se cadê um ocupa uma área de 0,40 m? Resp: 90.
     Uma sala mede 6 m de comprimento por 7,60 m de largura. Os tacos dessa sala são retangulares de 0,12 m de comprimento por 0,05 m de largura. Quantos tacos há na sala? Resp: 7600.
     Um salão de 8,40 m por 6,30 m foi pavimentado com lajes de 30 cm de base por 12 cm de altura. Quantas lajes foram colocadas? Resp: 1470.
     A tampa de sua carteira tem forma retangular. Medindo 70 cm de comprimento por 40 cm de largura. Você foi encarregado de cobrir esta tampa com cartolina e fixá-la com fita durex acompanhando todo o contorno da tampa. Quer saber: 

a) Quantos centímetros quadrados de cartolina serão usados para cobrir toda a tampa? Resp: 220 c m

b) Quantos centímetros de durex serão empregados para fixar a cartolina na tampa?
     Um pintor pintou um quadro de 60 cm de comprimento, por 40 cm de largura e colocou à sua volta uma moldura dourada. Pergunta-se:
a) Quanto centímetro quadrado de pintura tinha no quadro?
b) Quantos centímetros de moldura foram empregados? Resp: 200 cm.
    

     Quero forrar a minha mesa com um oleado e fixá-lo com uma fita plástica. Se a mesa mede 80 cm de comprimento, por 40 cm de largura, quantos cmde oleado usarei? Quanto cm de fita plástica precisará? 240 cm.
   

  Se o perímetro do quadrado é 20 cm. Qual a área? Resp: 25cm.
   

   Usei 120 m de fita durex para fixar a cartolina que coloquei sobre a mesa quadrada. Qual a área da cartolina? Resp: 900 cm
   

   O perímetro de um quadrado é 30 m. Quantos m de área ocupa? Resp: 56,25 m
   

   Para cercar um terreno quadrado, gastarei 80 m de muro, Qual a área do terreno? Resp: 400 m

    Sendo de 200 m o perímetro de um retângulo e o comprimento 80 m, quantos m tem? Resp: 1600 m.

9º Ano - MDC E MMC

Conjuntos Numéricos - 9º Ano

TEORIA DOS CONJUNTOS

Conceitos de conjuntos
   

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

---

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:

• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
• O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 

  ---

   União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 



---

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 



---

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 



---

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja 
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2ⁿ subconjuntos de A.

 1.1      Exercícios

1.   Se A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:

a)   { b } Î A

b)  Æ Î A

c)   { a } Ì A

d)   a Ì  A

2.   Diga quais das seguintes proposições são verdadeiras:

a)   { {1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}

b)  {1,2} Ì {{1,2}}

c)   {1,2} Î {{1,2}}

d)  {a} Î {b,{a}}

e)   {a} Ì {b,{a}}

f)   Æ = {Æ}

g)  Æ Ì {Æ}

h)  Æ Î {Æ}

i)    {1,2,2,3,3} = {1,2,3}

j)    {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}

k)  Æ Ì Æ

l)    Æ Î Æ

3.   - Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.

a)   U Î G? Justifique.

b)  U Ì  G? Justifique.

4.   Estabeleça entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4},  V = {1,4,5}, W = 2,  X = {3, Æ},  Y = Æ,  Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “ e/ou “Ì “, sempre que possível. Justifique.

5.   Considere os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o número total de turmas, seja I={i Î IN: i £ n }. Designamos cada turma por P,  iÎI. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:

a)   PÎ T

b)  PÍ T

c)   PÎ A

d)  PÍ A

e)   PÎ A È T

f)   PÍ A È T

6.   Defina o conjunto IR -A, onde A é definido do seguinte modo:

a)   A = { x Î IR : | x + 5 | ³ 4  Ù x £ 0 }

b)  A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú  2x ³ 4 }

c)   A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 } È { x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }

d)  A = { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç { x Î IR : 7x - 5 ³ 4 }

7.   Dado o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.

8.   Qual é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?

9.   Dado o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

a)   o subconjunto A dos números menores que 5.

b)  o subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.

c)   o subconjunto C dos números pares maiores que 6.

d)  o subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.

10. Dê um exemplo para ilustrar  A È B  = A È C  com B ¹ C.

Os Símbolos da Linguagem dos Conjuntos - Resumo

Nos itens anteriores, à medida que falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais símbolos:

          a Î A                lê-se:              a pertence a  A

          a Ï A                lê-se:              a não pertence a  A

A = {x | x goza a propriedade P}     lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a propriedade P

A = B                lê-se:              A é igual a B

A ¹ B                lê-se:              A é diferente de B

A Ì B                lê-se:              A está contido em B

A Ë B                lê-se:              A não está contido em B

A É B                lê-se:              A contém B

A É B                lê-se:              A não contém B

   Æ                    lê-se:              conjunto vazio

A - B                lê-se:              A menos B

A Ç B               lê-se:              A inter B

A È B               lê-se:              A união B

  "x                   lê-se:              qualquer que seja x  ou  para todo x

  $ x                   lê-se:              existe ao menos um x  ou  pelo menos um  x

  $ x                   lê-se:              não existe x algum

p Þ q                lê-se:              se p então q  ou  p implica q

p Û q               lê-se:              p é equivalente a q

1.1      Números Reais

Os números racionais e irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Figura 5 -

Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

1.1.1     Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.

1.1.2     Tipos de Intervalos:

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}  ou  [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥ a} 

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

1.1.3     União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Figura 7 – Intersecção de intervalos.

1.2      Exercícios

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a) 35,5	Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL
b) +45	Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
c) raiz quadrada de dois	Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL
d) raiz quadrada de 144	Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
e) raiz quadrada de -81	Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.

Conjuntos Numéricos - 9º Ano

1.1      Exercícios

1.   Se A = { a, b }, classifique em verdadeiro ou falso:

a)   { b } Î A

b)  Æ Î A

c)   { a } Ì A

d)   a Ì  A

2.   Diga quais das seguintes proposições são verdadeiras:

a)   { {1,2},{3,4}} = {1,2,3,4}

b)  {1,2} Ì {{1,2}}

c)   {1,2} Î {{1,2}}

d)  {a} Î {b,{a}}

e)   {a} Ì {b,{a}}

f)   Æ = {Æ}

g)  Æ Ì {Æ}

h)  Æ Î {Æ}

i)    {1,2,2,3,3} = {1,2,3}

j)    {1,2,3}Ì{1,2,2,3,3}

k)  Æ Ì Æ

l)    Æ Î Æ

3.   - Sejam U = {2, 1, 2} , G={1, 2, {1}, {2}, {1,2}}.

a)   U Î G? Justifique.

b)  U Ì  G? Justifique.

4.   Estabeleça entre cada um dos conjuntos ou elementos U = {1,2,3,4},  V = {1,4,5}, W = 2,  X = {3, Æ},  Y = Æ,  Z = { {1}, 2, {3}, 4}, relações de “Î “ e/ou “Ì “, sempre que possível. Justifique.

5.   Considere os conjuntos A={alunos de ED}, T={turmas existentes na Unitri}. Sendo n o número total de turmas, seja I={i Î IN: i £ n }. Designamos cada turma por P,  iÎI. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, para i Î I:

a)   PÎ T

b)  PÍ T

c)   PÎ A

d)  PÍ A

e)   PÎ A È T

f)   PÍ A È T

6.   Defina o conjunto IR -A, onde A é definido do seguinte modo:

a)   A = { x Î IR : | x + 5 | ³ 4  Ù x £ 0 }

b)  A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 Ú  2x ³ 4 }

c)   A = { x Î IR : 6x + 9 < 0 } È { x Î IR : 6x + 9 ³ 0 }

d)  A = { x Î IR : | x - 7 | = 4 } Ç { x Î IR : 7x - 5 ³ 4 }

7.   Dado o conjunto A = { 5, -2.3, 0.131131113..., 0.333..., 2/5, 3.141592... }, escreva o subconjunto de A cujos elementos sejam números racionais.

8.   Qual é o conjunto união do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 2 e do conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3? Qual é o conjunto interseção?

9.   Dado o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

a)   o subconjunto A dos números menores que 5.

b)  o subconjunto B dos números maiores que 3 e menores que 6.

c)   o subconjunto C dos números pares maiores que 6.

d)  o subconjunto D dos números ímpares maiores que 7.

10. Dê um exemplo para ilustrar  A È B  = A È C  com B ¹ C.

Os Símbolos da Linguagem dos Conjuntos - Resumo

Nos itens anteriores, à medida que falávamos sobre conjuntos, os símbolos foram surgindo e agora já conhecemos e estamos utilizando uma boa quantidade deles. Vamos fazer um resumo de tais símbolos:

          a Î A                lê-se:              a pertence a  A

          a Ï A                lê-se:              a não pertence a  A

A = {x | x goza a propriedade P}     lê-se: A é o conjunto dos x tal que x goza a propriedade P

A = B                lê-se:              A é igual a B

A ¹ B                lê-se:              A é diferente de B

A Ì B                lê-se:              A está contido em B

A Ë B                lê-se:              A não está contido em B

A É B                lê-se:              A contém B

A É B                lê-se:              A não contém B

   Æ                    lê-se:              conjunto vazio

A - B                lê-se:              A menos B

A Ç B               lê-se:              A inter B

A È B               lê-se:              A união B

  "x                   lê-se:              qualquer que seja x  ou  para todo x

  $ x                   lê-se:              existe ao menos um x  ou  pelo menos um  x

  $ x                   lê-se:              não existe x algum

p Þ q                lê-se:              se p então q  ou  p implica q

p Û q               lê-se:              p é equivalente a q

1.1      Números Reais

Os números racionais e irracionais foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS" que é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Figura 5 -

Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

1.1.1     Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Figura 6 – Representação de um intervalo na reta real.

1.1.2     Tipos de Intervalos:

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}  ou  [a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | x ≥ a} 

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

1.1.3     União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Figura 7 – Intersecção de intervalos.

1.2      Exercícios

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a) 35,5	Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL
b) +45	Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
c) raiz quadrada de dois	Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL
d) raiz quadrada de 144	Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL
e) raiz quadrada de -81	Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.